Series(mathmatics)
신호처리는 복잡한 신호들을 분석하여 원하는 신호를 잘 수집하는 것에 그 목적이 있다. 신호를 단순화 하기 위해서는 식을 단순화 시키는 과정이 필요한데, 그 기반이 되는 것이 급수(Series)이다. 본 wiki에서는 신호처리에 기본적으로 쓰이는 수학 이론들을 정리하고 할 수 있는 한 증명까지 진행해보았다. Latex으로 공식을 정리해놨기 떄문에, 언제가는 긁어서 쓸 날이 올거라고 믿어보자. (github에서는 latex을 인식하지 못하는 사고가 발생했다..전부 잘 인시가고서 latex만 인식안하는 넌 정말 편식하는 나쁜아이로구나...!)
Taylor series
테일러 시리즈는 미지의 함수를 무한한 다항식의 합으로 나타내 식을 근사하는 기법이다. 복잡한 함수를 다항식으로 나타낼 수 있기 때문에, 함수의 경향성이나 계산을 보다 용이하게 할 수 있는 장점이 있다.
Definition
함수 $f(x)$가 $a \in R$에서 미분이 가능할 때, 다항함수로 근사한 식을 테일러 급수(Taylor seires)라고 부른다.
$T_f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{(x-a)^n}=f(a) + f'(a)(x-a) + {1\over2!}f''(a)(x-a)^2 + \cdots + {1\over n!}f^{(n)}(x-a)^n$
MacLaurin series
간단한 삼각함수는 MacLaurin Series를 통해 표현할 수 있고, 원래 식과 매우 유사하다는 것을 계산과 여러 증명을 통해 알 수 있다.
Definition
$a=0$일 때의 테일러 급수를 매클로린급수라고 부른다.
$M_f(x) = \displaystyle\sum_{n!}^{\infty}{f(0)+f'(0)x + {1 \over 2!}f''(0)x^2 + {1 \over 3!}f'''(0)x^3 + \cdots + {1 \over n!}f^{(n)}x^n}$
Analytic Function
Definition
함수 f가 한 점 $x=a$에서 해석적이라는 것은, 그 점 근방에서 테일러 급수가 수렴하는 것이고, 정의역 D의 모든 점에서 해석적인 함수를 해석함수라고 한다. 다시말해, 어떤
Laurant series
Definition
테일러 급수(Talyor series)의 범위를 실수 범위에서 복소수 범위까지 확장시킨 함수를 로랑급수(Laurant series)라고 한다.
$f_z(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{c_z(z-z_0)^n}$
holomorphic function
복소 범위에서 미분가능(정칙), 해석가능한 함수를 정칙함수로 정의한다. 다시말해, 일반적으로 복소함수가 미분가능(정칙)하면, 반드시 로랑급수가 원래 함수와 같아진다 라고 얘기할 수 있다
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